【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時，

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（I）對函數(shù)求導(dǎo)，可得函數(shù)單調(diào)性，并求得函數(shù)的最小值，若函數(shù)有零點，函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零，解不等式可得的范圍；(Ⅱ)將代入不等式化簡為，可構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可知在 條件下 最小值為 ， 最大值為．可證命題．

試題解析：

(Ⅰ)法1: 函數(shù)的定義域為.

由, 得.

因為,則時, ; 時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時, .

當(dāng), 即時, 又, 則函數(shù)有零點.

所以實數(shù)的取值范圍為.

法2：函數(shù)的定義域為.

由, 得.

令，則.

當(dāng)時, ; 當(dāng)時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

故時, 函數(shù)取得最大值.

因而函數(shù)有零點, 則.

所以實數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ) 要證明當(dāng)時, ,

即證明當(dāng)時, , 即.

令, 則.

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時, .

于是,當(dāng)時, ①

令, 則.

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時, .

于是, 當(dāng)時, ②

顯然, 不等式①、②中的等號不能同時成立.

故當(dāng)時, .

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準(zhǔn)保費）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就是越高，具體浮動情況如下表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機構(gòu)為了 某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定， ，記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字）

（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：

①若該銷售商購進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；

②若該銷售商一次購進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年1月1日，作為貴陽市打造“千園之城”27個示范性公園之一的泉湖公園正式開園.元旦期間，為了活躍氣氛，主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項目向全體市民開放.現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況，具體數(shù)據(jù)如圖表：

（1）根據(jù)條件完成下列

列聯(lián)表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)？

愿意

不愿意

總計

男生

女生

總計

（2）水上挑戰(zhàn)項目共有兩關(guān)，主辦方規(guī)定：挑戰(zhàn)過程依次進(jìn)行，每一關(guān)都有兩次機會挑戰(zhàn)，通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn)，若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為

，記甲通過的關(guān)數(shù)為

，求

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式與數(shù)據(jù)：

0.1

0.05

0.025

0.01

2.706

3.841

5.024

6.635

.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一醫(yī)用放射性物質(zhì)原來質(zhì)量為a，每年衰減的百分比相同,當(dāng)衰減一半時，所用時間是10年，根據(jù)需要,放射性物質(zhì)至少要保留原來的，否則需要更換.已知到今年為止，剩余的為原來的，

(1)求每年衰減的百分比；

(2)到今年為止，該放射性物質(zhì)已衰減了多少年？

(3)今后至多還能用多少年？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該數(shù)集為“可倒數(shù)集”.

(1)判斷集合A＝{－1，1，2}是否為可倒數(shù)集；

(2)試寫出一個含3個元素的可倒數(shù)集.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時， ，則函數(shù)在區(qū)間[-7,1]上的零點個數(shù)為( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為： （t為參數(shù)），它與曲線C： 相交于A，B兩點．

（1）求|AB|的長；

（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點P的極坐標(biāo)為，求點P到線段AB中點M的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將圓上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，得曲線C.

（Ⅰ）寫出C的參數(shù)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l： 與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1 P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)．

（1）證明：；

（2）若不等式的解集是非空集，求的范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案