Question

已知a＞0，設p：存在a∈R，使y=a^x是R上的單調(diào)遞減函數(shù)； q：存在a∈R，使函數(shù)g（x）=lg（2ax²+2x+1）的值域為R，如果“p∧q”為假，“p∨q”為真，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  1

  2

  ，+∞）
• C、（0，

  1

  2

  ]∪[1，+∞）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：第一步：將命題p，q化簡，都用含a的不等式表示；
第二步：根據(jù)“p∧q”為假，及“p∨q”為真，判斷p，q的真假；
第三步：由p，q的真假，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：由題意知，命題p等價于“0＜a＜1”，
在命題q中，由題意知，真數(shù)2ax²+2x+1可取到任何一個正數(shù)，
所以a＞0，且函數(shù)y=2ax²+2x+1的圖象與x軸必有交點，
所以在方程2ax²+2x+1=0中，有△≥0，即2²-4×2a≥0，得0＜a≤

1

2

．
于是q等價于“0＜a≤

1

2

”．
因為“p∧q”為假，“p∨q”為真，所以p，q一真一假．
當p真q假時，有

0＜a＜1 a≤0或，a＞ 1 2

，得

1

2

＜a＜1；
當p假q真時，有

a≤0，或a≥1 0＜a≤ 1 2

，可知a的值不存在．
綜上知

1

2

＜a＜1．
故選A．

點評：本題考查了“或”命題和“且”命題的真假性，關鍵是弄清兩種命題的構(gòu)成，及各部分的真假性．所有情況如下：
（1）p∧q為真的情況有：p真，且q真；p∧q為假的情況有：①p真，且q假，②p假，且q真，③p假，且q假，即“兩真才真，一假為假”．
（2）p∨q為真的情況有：①p真，且q假，②p假，且q真，③p真，且q真；p∨q為假的情況有：p假，且q假，即“一真為真，兩假才假”．