Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項和為S_n，S₄=2S₂+4，bn=

1+an

an

．
（1）求公差d的值；
（2）若a1=-

5

2

，求數(shù)列{b_n}中的最大項和最小項的值；
（3）若對任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù) S₄=2S₂+4，可得 4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，解得d的值．
（2）由條件先求得a_n的解析式，即可得到b_n的解析式bn=1+

1

an

=1+

1

n- 7 2

，由函數(shù)f(x)=1+

1

x- 7 2

在(-∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分別是單調減函數(shù)，可得b₃＜b₂＜b₁＜1，當n≥4時，1＜b_n≤b₄，故數(shù)列{b_n}中的
最大項是b₄=3，最小項是b₃=-1．
（3）由 bn=1+

1

n+a1-1

，函數(shù)f(x)=1+

1

x+a1-1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分別是單調減函數(shù)，x＜1-a₁ 時，y＜1； x＞1-a₁時，y＞1，再根據(jù)b_n≤b₈，可得 7＜1-a₁＜8，從而得到a₁的取值范圍．

解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，解得d=1，
（2）∵a1=-

5

2

，∴數(shù)列a_n的通項公式為 an=a1+(n-1)=n-

7

2

，∴bn=1+

1

an

=1+

1

n- 7 2

，
∵函數(shù)f(x)=1+

1

x- 7 2

在(-∞，

7

2

)和(

7

2

，+∞)上分別是單調減函數(shù)，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，當n≥4時，1＜b_n≤b₄，∴數(shù)列{b_n}中的最大項是b₄=3，最小項是b₃=-1．
（3）由bn=1+

1

an

 得  bn=1+

1

n+a1-1

，
又函數(shù)f(x)=1+

1

x+a1-1

在（-∞，1-a₁）和（1-a₁，+∞）上分別是單調減函數(shù)，
且x＜1-a₁ 時，y＜1；x＞1-a₁時，y＞1．
∵對任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈，∴7＜1-a₁＜8，∴-7＜a₁＜-6，∴a₁的取值范圍是（-7，-6）．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式的應用，數(shù)列的函數(shù)特性，以及數(shù)列的單調性的應用，得到
7＜1-a₁＜8，是解題的難點．