Question

直線l：3x-y-1=0，在l上求一點(diǎn)P，使得．
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差的絕對值最大；
（2）P到A（4，1），C（3，4）的距離之和最�。�

Answer 1

分析：（1）如果兩點(diǎn)在一直線的異側(cè)，則作其中某一點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)，
那么經(jīng)過對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的直線與已知直線的交點(diǎn)，即為所求的P點(diǎn)；
（2）如果兩點(diǎn)在一直線的同側(cè)，則作其中某一點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)，
那么經(jīng)過對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的直線與已知直線的交點(diǎn)，即為所求的P點(diǎn)．

解答：解：在直線L：3X-Y-1=0上求一點(diǎn)P，使得
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大
顯然A、B位于直線L兩側(cè)
作B關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)B'，連接B'A
則B'A 所在直線與直線L交點(diǎn)即為P
此時(shí)，|PA-PB|的差值最大，最大值就是B'A
設(shè)B點(diǎn)關(guān)于L對稱點(diǎn)B’（a．b），（b-4）×3=-（a-0），
3a-（b+4）-2=0得a=3，b=3
AB的直線方程為2X+Y-9=0解方程2X+Y-9=0
與3X-Y-1=0可得（2、5）是距離之差最大的點(diǎn)．

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距離之和最小
顯然，A、B位于直線L同側(cè)
作點(diǎn)C關(guān)于直線L對稱點(diǎn)C'，連接C'A
則C'A與直線L的交點(diǎn)就是點(diǎn)P
此時(shí)，PA+PB之和最小，最小值為C'A
設(shè)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′，求出C′的坐標(biāo)為（

3

5

，

24

5

）．
∴AC′所在直線的方程為19x+17y-93=0．
AC′和l交點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（

11

7

，

26

7

）．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

11

7

，

26

7

）．

點(diǎn)評：本題考查直線關(guān)于直線對稱的問題，平面幾何知識，是中檔題．