Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[ ，1]上的最小值；
（2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍；
（3）若x＞0，不等式f（ ）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時(shí)，f（x）=xe2x﹣lnx，

∴ ， ，

∴函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

又函數(shù)f′（x）的值域?yàn)镽，

故x0＞0，使得f′（x0）=（2x0+1）e ﹣ =0，

又∵ ，∴ ，∴當(dāng)x∈[ ]時(shí)，f′（x）＞0，

即函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，1]上遞增，∴

（2）解： ，

由（1）知函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且x0＞0，使得f′（x0）=0，

進(jìn)而函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，

﹣lnx0﹣ax0，

由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e ﹣ ﹣a=0，

∴ ，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02 ，

∵x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，

∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1，∴l(xiāng)nx0+2x02 ≤0，

設(shè)h（x0）=lnx0+2x e ，則h（x0）為增函數(shù)，且有唯一零點(diǎn)，設(shè)為t，

則h（t）=lnt+2t2e2t=0，則﹣lnt=2t2e2t，即 ，

令g（x）=xex，則g（x）單調(diào)遞增，且g（2t）=g（ ），

則2t=ln ，即 ，

∵a=（2x0+1） ﹣ 在（0，t]為增函數(shù)，

則當(dāng)x0=t時(shí)，a有最大值， = ，

∴a≤2，∴a的取值范圍是（﹣∞，2]

（3）解：由f（ ）﹣1≥ ，

得 ，

∴xlnx﹣x﹣a≥ ，∴a 對(duì)任意x＞0成立，

令函數(shù)g（x）=xlnx﹣x﹣ ，∴ ，

當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值g（1）=﹣1﹣ =﹣1﹣ ，

∴a≤﹣1﹣ ．

∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣1﹣ ）

【解析】（1）a=0時(shí)， ， ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[ ，1]上的最小值．

（2） ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，由x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02 ≤0，由此能求出a的取值范圍．

（3）由f（ ）﹣1≥ ，得a 對(duì)任意x＞0成立，令函數(shù)g（x）=xlnx﹣x﹣ ，則 ，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．