Question

9．已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與直線${l_1}：x-y-2\sqrt{2}=0$相切．
（1）若與直線l₁垂直的直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線的縱截距；
（2）過點(diǎn)G（1，3）作圓C的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)直線的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4，利用${x_1}x{\;}_2+{y_1}{y_2}=2{x_1}x{\;}_2-b（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$，即可求直線的縱截距；
（2）設(shè)出切線的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，建立方程求出切線斜率即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）圓心到直線的距離d=$\frac{|0-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，即圓的半徑R=2，
則圓C的方程為x²+y²=4，
設(shè)直線的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
設(shè)直線與圓的交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，${x_1}+{x_2}=b，{x_1}•{x_2}=\frac{{{b^2}-4}}{2}$①
因?yàn)镺P⊥OQ，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即滿足x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
所以${x_1}x{\;}_2+{y_1}{y_2}=2{x_1}x{\;}_2-b（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$②
由①②得b²=4，滿足△＞0，即b=2或-2．
（3）因?yàn)辄c(diǎn)G（1，3）在圓外，設(shè)切線的斜率為k，
則直線方程為y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
即|3-k|=2$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
平方得9-6k+k²=4k²+4，
即3k²+6k-5=0，
得k=$\frac{-6±\sqrt{36+4×3×5}}{6}$=$\frac{-6±4\sqrt{6}}{6}$=$\frac{-3±2\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)k=$\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，切線方程為$\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$x-y+3-$\frac{-3+2\sqrt{6}}{3}$=0，
當(dāng)k=$\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}$時(shí)，切線方程為$\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}$x-y+3-$\frac{-3-2\sqrt{6}}{3}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．