Question

19．在長方體中，|OA|=6，|OC|=8，|OD′|=4，
（1）寫出A′、B′、C、C′、D′四點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出AC′的長．
（3）求AC′與BB′所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在長方體中，由空間向量的性質(zhì)能求出A′、B′、C、C′、D′四點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）先求出A（6，0，0），C′（0，8，6），由此能求出AC′的長．
（3）先分別求出$\overrightarrow{A{C}^{'}}$，$\overrightarrow{B{B}^{'}}$，由此能求出AC′與BB′所成角的余弦值．

解答 解：（1）如圖，∵長方體中，|OA|=6，|OC|=8，|OD′|=4，
∴A′（6，0，4），B′（6，8，4），C（0，8，0），C′（0，6，4），D′（0，0，4）．
（2）∵A（6，0，0），C′（0，8，6），
∴AC′=$\sqrt{（0-6）^{2}+（8-0）^{2}+（6-0）^{2}}$=2$\sqrt{34}$．
（3）B（6，8，0），$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（-6，8，6），$\overrightarrow{B{B}^{'}}$=（0，0，4），
設(shè)AC′與BB′所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}^{'}}•\overrightarrow{B{B}^{'}}|}{|\overrightarrow{A{C}^{'}}|•|\overrightarrow{B{B}^{'}}|}$=$\frac{24}{2\sqrt{34}•4}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
∴AC′與BB′所成角的余弦值$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查兩點(diǎn)間距離的求法，考查兩直線的夾角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．