Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）-x的最大值；（注明：其中（ln（x+1））′=

1

x+1

）
（2）求證：(1+

1

n

)n＜e(n∈N*，e=2.71828…)；
（3）當0＜a＜b時，求證：f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，得g'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論：令x=

1

n

，則ln(1+

1

n

)＜

1

n

，化簡即可證明；
（3）f（b）-f（a）=lnb-lna=ln

b

a

=-ln

a

b

=-ln(1+

a-b

b

)，利用（1）的結(jié)論可得：ln(1+

a-b

b

)＜

a-b

b

，可得ln

b

a

＞-

a-b

b

=

b-a

b

．由a²+b²＞2ab，可得

1

b

＞

2a

a2+b2

，即可證明．

解答： （1）解：g（x）=f（x+1）-x=ln（x+1）-x，得g'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
∴x∈（-1，0），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；x∈（0，+∞），g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=g（0）=0．
（2）證明：由（1）可知：x∈（0，+∞），g（x）＜0，
∴l(xiāng)n（x+1）＜x，
令x=

1

n

，則ln(1+

1

n

)＜

1

n

，
∴(1+

1

n

)n＜e．
（3）證明：f（b）-f（a）=lnb-lna=ln

b

a

=-ln

a

b

=-ln(1+

a-b

b

)，
由（1）可知，ln（x+1）＜x，

a-b

b

∈(-1，0)．
∴ln(1+

a-b

b

)＜

a-b

b

，∴ln

b

a

＞-

a-b

b

=

b-a

b

．
∵0＜a＜b，∴a²+b²＞2ab，∴

1

b

＞

2a

a2+b2

，
∴ln

b

a

＞

2a(b-a)

a2+b2

，
∴f（b）-f（a）＞

2a(b-a)

a2+b2

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、利用單調(diào)性證明不等式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．