Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

mx2-x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)h（x）=e^g（x）•f（x），當(dāng)m=

2

3

時(shí)，求h（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）+（2-m）x，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)h（x），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線方程；
（Ⅱ）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)m討論，當(dāng)m≥0時(shí)，當(dāng)m=-1時(shí)，當(dāng)m＜-1時(shí)，當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=e^g（x）•f（x）=e^lnx•（

1

2

mx2-x）=x•（

1

2

mx2-x）=

1

2

mx³-x²，
當(dāng)m=

2

3

時(shí)，h（x）=

1

3

x³-x²的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=x²-2x，
即有h（x）在x=1處的切線斜率為k=1-2=-1，
切點(diǎn)為（1，-

2

3

），
則h（x）在x=1處的切線方程為y+

2

3

=-（x-1），即為x+y-

1

3

=0；
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）+（2-m）x=

1

2

mx2-x-lnx+（2-m）x=

1

2

mx²-lnx+（1-m）x，（x＞0）
F′（x）=mx-

1

x

+1-m=

mx2+(1-m)x-1

x

=

(x-1)(mx+1)

x

，
當(dāng)m≥0時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當(dāng)m=-1時(shí)，F(xiàn)′（x）=

-(x-1)2

x

≤0，F(xiàn)（x）遞減；
當(dāng)m＜-1時(shí)，-

1

m

＜1，當(dāng)0＜x＜-

1

m

或x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，
當(dāng)-

1

m

＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，1＜-

1

m

，當(dāng)0＜x＜1或x＞-

1

m

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，
當(dāng)1＜x＜-

1

m

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
綜上可得，當(dāng)m≥0時(shí)，F(xiàn)（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)m=-1時(shí)，F(xiàn)（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)m＜-1時(shí)，F(xiàn)（x）的增區(qū)間為（-

1

m

，1），減區(qū)間為（0，-

1

m

），（1，+∞）；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，F(xiàn)（x）的增區(qū)間為（1，-

1

m

），減區(qū)間為（0，1），（-

1

m

+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和判斷單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和正確分類討論是解題的關(guān)鍵．