【題目】設a,b∈R,函數 ,g(x)=ex(e為自然對數的底數),且函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象在x=0處有公共的切線.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)討論函數f(x)的單調性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)內恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)f'(x)=x2+2ax+b,g'(x)=ex ,
由f'(0)=b=g'(0)=1,得b=1.
(Ⅱ)f'(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1﹣a2 ,
當a2≤1時,即﹣1≤a≤1時,f'(x)≥0,從而函數f(x)在定義域內單調遞增,
當a2>1時, ,此時
若 ,f'(x)>0,則函數f(x)單調遞增;
若 ,f'(x)<0,則函數f(x)單調遞減;
若 時,f'(x)>0,則函數f(x)單調遞增.
(Ⅲ)令h(x)=g'(x)﹣f'(x)=ex﹣x2﹣2ax﹣1,則h(0)=e0﹣1=0.h'(x)=ex﹣2x﹣2a,令u(x)=h'(x)=ex﹣2x﹣2a,則u'(x)=ex﹣2.
當x≤0時,u'(x)<0,從而h'(x)單調遞減,
令u(0)=h'(0)=1﹣2a=0,得 .
先考慮 的情況,此時,h'(0)=u(0)≥0;
又當x∈(﹣∞,0)時,h'(x)單調遞減,所以h'(x)>0;
故當x∈(﹣∞,0)時,h(x)單調遞增;
又因為h(0)=0,故當x<0時,h(x)<0,
從而函數g(x)﹣f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)內單調遞減;
又因為g(0)﹣f(0)=0,所以g(x)>f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)恒成立.
接下來考慮 的情況,此時,h'(0)<0,
令x=﹣a,則h'(﹣a)=e﹣a>0.
由零點存在定理,存在x0∈(﹣a,0)使得h'(x0)=0,
當x∈(x0 , 0)時,由h'(x)單調遞減可知h'(x)<0,所以h(x)單調遞減,
又因為h(0)=0,故當x∈(x0 , 0)時h(x)>0.
從而函數g(x)﹣f(x)在區(qū)間(x0 , 0)單調遞增;
又因為g(0)﹣f(0)=0,所以當x∈(x0 , 0),g(x)<f(x).
綜上所述,若g(x)>f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)恒成立,則a的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出兩個函數的導數,利用函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象在x=0處有公共的切線.列出方程即可求解b.
(Ⅱ)求出導函數f'(x)=,通過﹣1≤a≤1時,當a2>1時,分別判斷導函數的符號,推出函數的單調區(qū)間.
(Ⅲ)令h(x)=g'(x)﹣f'(x)=ex﹣x2﹣2ax﹣1,可得h(0)0.求出h'(x)=ex﹣2x﹣2a,令u(x)=h'(x)=ex﹣2x﹣2a,求出導數u'(x)=ex﹣2.當x≤0時,u'(x)<0,從而h'(x)單調遞減,求出 .考慮 的情況, 的情況,分別通過函數的單調性以及函數的最值,推出a的范圍即可.
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(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設數列{an}的前n項和為Sn , 記bn= ,求數列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數方程為 (其中t為參數),現以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ.
(Ⅰ)寫出直線l和曲線C的普通方程;
(Ⅱ)已知點P為曲線C上的動點,求P到直線l的距離的最小值.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足acosB=bcosA.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)求sin(2A+ )﹣2cos2B的取值范圍.
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【題目】解不等式( )x﹣x+ >0時,可構造函數f(x)=( )x﹣x,由f(x)在x∈R是減函數,及f(x)>f(1),可得x<1.用類似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3>0的解集為( )
A.(0,1]
B.(﹣1,1)
C.(﹣1,1]
D.(﹣1,0)
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【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 , AB=a,AA1=2a,E,F分別是棱AD,CD的中點.
(1)求異面直線BC1與EF所成角的大;
(2)求四面體CA1EF的體積.
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