Question

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5 000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2 500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為(萬元)(0≤≤5)，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百臺(tái))
(1)把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤最大；
(3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，利潤最大．
（3）企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4 800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本．

解：(1)利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，
當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x＞5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，所以
＝
(2)在0≤x≤5時(shí)，y＝－x²＋4.75x－0.5，當(dāng)x＝－＝4.75百臺(tái)時(shí)，y_max＝10.781 25 萬元．
當(dāng)x＞5 百臺(tái)時(shí)，y＜12－0.25×5＝10.75 萬元，所以當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，利潤最大．
(3)要使企業(yè)不虧本，即要求：或
解得5≥x≥4.75－≈0.1 百臺(tái)或5＜x＜48 百臺(tái)，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4 800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本．