已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1-
4
an+3
，數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an+1
（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）證明：
1
b12
+
1
b22
+…+
1
bn2
 ＜7．
考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知得an+1+1=2-
4
an+3
=
2an+2
an+3
，從而得到數(shù)列{bn}是首項為
1
2
，公差為
1
2
的等差數(shù)列，由此能求出bn=
n
2
．
（2）當n=1和n=2時，驗證不等式成立，當n≥3時，
1
bn2
=
4
n2
＜
4
n(n-1)
=4（
1
n-1
-
1
n
），由此裂項求和法能證明
1
b12
+
1
b22
+…+
1
bn2
 ＜7．
解答： （1）解：∵數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=1-
4
an+3
，
∴an+1+1=2-
4
an+3
=
2an+2
an+3
，…（2分）
又由bn=
1
an+1
，
則bn+1=
1
an+1+1
=
an+3
2an+2
=
(an+1)+2
2(an+1)

=
1
an+1
+
1
2
=bn+
1
2
，…（6分）
又b1=
1
2
，所以數(shù)列{bn}是首項為
1
2
，公差為
1
2
的等差數(shù)列，
∴bn=
n
2
．…（8分）
（2）當n=1時，左邊=
1
b12
=4＜7，不等式成立；…（9分）
當n=2時，左邊=
1
b12
+
1
b22
=4+1=5＜7，不等式成立； …（10分）
當n≥3時，
1
bn2
=
4
n2
＜
4
n(n-1)
=4（
1
n-1
-
1
n
），
左邊=
1
b12
+
1
b22
+…+
1
bn2
 ＜4+1+4（
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n-1
-
1
n
）
=5+4（
1
2
-
1
n
）=7-
4
n
＜7不等式成立，
∴
1
b12
+
1
b22
+…+
1
bn2
 ＜7．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C是不共線的三點，
m
與
AB
是平行向量，與
BC
是共線向量，則
m
=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-
3
sin2x+sinxcosx．
（1）求f（
25
6
π）的值；
（2）若x∈（-
π
2
，
π
2
）且f（x）=0，求sinx的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設變量x，y滿足約束條件：
x+y≥3
x-y≥-1
2x-y≤3
，則目標函數(shù)z=
y+1
x
的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2+2x-3＞0}，集合B={x|x2-ax-1≤0，a＞0}，若A∩B恰有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=cos(?x+
π
3
)•sin(?x-
π
2
)+cos2?x-
1
4
（?＞0）圖象上的相鄰的最高點與最低點之間的距離為
2
．
（1）求?的值及單調遞增區(qū)間；
（2）設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且b+c=2，A=
π
3
，求f（a）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
x2+ax+3，當x=-1時，該函數(shù)有極值，則a=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知公差大于零的等差數(shù)列{an}，a2+a3+a4=9，且a2+1，a3+3，a4+8為等比數(shù)列{bn}的前三項，求{an}、{bn}的通項公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1前n項和為Sn，
（Ⅰ）若點P（an，an+1）（n∈N+）在直線x-y+1=0上，求數(shù)列{an}通項公式并求
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
的和；
（Ⅱ）若點p（an，an+1）（n∈N+）在直線2x-y+1=0上，求證：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案