Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+ 1 2

x

，其中x∈[1，+∞）．
（1）試判斷它的單調(diào)性；
（2）試求它的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

x2+2x+ 1 2

x

=x+

1

2x

+2，
設(shè)1≤x₁≤x₂時，f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+（

1

2x1

-

1

2x2

）=（x₁-x₂）•

2x1x2-1

2x1x2

，
因為1≤x₁≤x₂，所以x₁-x₂＜0，

2x1x2-1

2x1x2

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）因為f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=1時，f（x）有最小值

7

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和最值的求解和證明，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．