Question

【題目】已知數(shù)列的前項和滿足.

(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.

(2)若不等式，對任意恒成立，求的取值范圍.

(3)記數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立，若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(，)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析，；(2) ；(3) 存在， (1，1)，(1，2).

【解析】

（1）由與關系，得出的遞推關系，再用等差數(shù)列的定義，證明為等差數(shù)列，求出其通項，即可求得的通項公式；

（2）不等式，對任意恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)為對任意恒成立，轉(zhuǎn)為求數(shù)列的最大值，即可求出結(jié)果；

（3）求出通項公式，以及前項和為，代入化簡，轉(zhuǎn)化為關于的不等式，結(jié)合為正整數(shù)，可求出的值.

(1)當=1時，，得，

當時，，，

兩式相減得：，

∴，即，

又，

∴數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知，即

∵

∴不等式，對任意恒成立，

等價于對任意恒成立，

記

法一：則時，

∴時，；時，.

或(法二)：時，

∴當時，，

∴或時，取最大值為，

∴，即

∴入的取值范圍是:.

(3)由得

∴數(shù)列的前項和為，

則

∵，得

∴

∴

∵是正整數(shù)，∴

當時，即

解得，.

綜上存在所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(，)為:(1，1)，(1，2).