Question

求函數(shù)y=asin²x+2sinx-

1

2

，x∈[

π

6

，

5π

6

]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：分類討論,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：討論a=0時(shí)，y的值域是什么，a≠0時(shí)，函數(shù)y的值域是什么，求出答案來．

解答： 解：∵函數(shù)y=asin²x+2sinx-

1

2

，
∴①當(dāng)a=0時(shí)，y=2sinx-

1

2

，
∵x∈[

π

6

，

5π

6

]，
∴sinx∈[

1

2

，1]，
∴y=2sinx-

1

2

∈[

1

2

，

3

2

]；
②當(dāng)a≠0時(shí)，
y=a（sin²x+

2

a

sinx+

1

a2

）-

1

a

-

1

2

=a(sinx+

1

a

)2-

1

a

-

1

2

，
（i）若a＞0，則函數(shù)y的最大值是y_max=a+2-

1

2

=a+

3

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

，
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤a+

3

2

；
（ii）若-1≤a＜0，則

1

a

≤-1，
函數(shù)y的最大值是y_max=a+2-

1

2

=a+

3

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

，
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤a+

3

2

（iii）若-2≤a＜-1，則-1＜

1

a

≤-

1

2

，
函數(shù)y的最大值是y_max=-

1

a

-

1

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

；
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤-

1

a

-

1

2

（iv）若a＜-2，則-

1

2

＜

1

a

＜0，
函數(shù)y的最大值是y_max=a+

3

2

，
y的最小值是y_min=

1

4

a+1-

1

2

=

1

4

a+

1

2

；
∴

1

4

a+

1

2

≤y≤a+

3

2

綜上，a=0時(shí)，y的值域是[

1

2

，

3

2

]，
a＞0時(shí)，y的值域是[

1

4

a+

1

2

，a+

3

2

]；
-1≤a＜0時(shí)，y的值是[

1

4

a+

1

2

，a+

3

2

]
-2≤a＜-1時(shí)，y的值是[

1

4

a+

1

2

，-

1

a

-

1

2

]
a＜-2時(shí)，y的值是[

1

4

a+

1

2

；a+

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是易錯(cuò)題．