Question

7．某次運動會的游泳比賽中，已知5名游泳運動員中有1名運動員服用過興奮劑，需要通過檢驗?zāi)蛞簛泶_定因服用過興奮劑而違規(guī)的運動員，尿液檢驗結(jié)果呈陽性的即為服用過興奮劑的運動員，呈陰性則沒有服用過興奮劑，組委會提供兩種檢驗方法：
方案A：逐個檢驗，直到能確定服用過興奮劑的運動員為止．
方案B：先任選3名運動員，將他們的尿液混在一起檢驗，若結(jié)果呈陽性則表明違規(guī)的運動員是這3名運動員中的1名，然后再逐個檢驗，直到能確定為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2名運動員中任選1名檢驗．
（Ⅰ）求依方案A所需檢驗次數(shù)不少于依方案B所需檢驗次數(shù)的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案B所需檢驗次數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意得到這兩種方案的化驗次數(shù)，算出在各個次數(shù)下的概率，寫出化驗次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率．
（2）根據(jù)上一問乙的化驗次數(shù)的分布列，利用期望計算公式得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）若乙驗兩次時，有兩種可能：
①先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：$\frac{{∁}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$×$\frac{1}{{A}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{5}$．
②先驗三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次試驗中有沒有，均可以在第二次結(jié)束）：
$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{5}^{3}}•\frac{{A}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
∴乙只用兩次的概率為$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$．
若乙驗三次時，只有一種可能：
先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為$\frac{2}{5}$．
∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：$\frac{3}{5}$×$（1-\frac{1}{5}）$+$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}）$=$\frac{18}{25}$．
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．