Question

已知拋物線y²=4x的弦AB經過它的焦點F，弦AB的長為20，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由y²=4x，準線x=-

p

2

=-1，焦點（1，0），設y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

，由|AB|=|AF|+|BF|，拋物線到焦點距離等于到準線距離，知x₁+x₂=

2k2+4

k2

=18，由此能求出直線方程．

解答： 解：∵y²=4x，∴2p=4，
所以準線x=-

p

2

=-1，焦點（1，0），
若直線斜率不存在，則AB是x=1與y²=4交點之間的距離，顯然|AB|=20不成立，
所以斜率存在．設y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-2k²x+k²=4x，
即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
又|AB|=|AF|+|BF|，拋物線到焦點距離等于到準線距離，
則A到準線距離為：x₁-（-1）=x₁+1，B到準線距離為：x₂+1，
所以x₁+1+x₂+1=|AF|+|BF|=20，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

=18，
解得k=±

1

2

，所以所求的直線方程為x+2y-1=0，或x-2y+1=0．

點評：本題考查直線方程的求法，具體涉及到拋物線的簡單性質，直線與拋物線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．