Question

（1）已知1≤m≤4，-2＜n＜3，求m+n，mn的取值范圍；
（2）若對任意x∈R，|x+2|+|x-1|＞a-x²+2x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接利用基本不等式的性質(zhì)求得m+n，mn的取值范圍；
（2）把|x+2|+|x-1|＞a-x²+2x恒成立轉(zhuǎn)化為a＜

x2-4x-1，x≤-2 x2-2x+3，-2＜x＜1 x2+1，x≥1

恒成立，分段求出函數(shù)的最小值后得答案．

解答： 解：（1）∵1≤m≤4，-2＜n＜3，
∴由不等式的可加性，得-1＜m+n＜7．
當(dāng)0≤n＜3時(shí)，可得0≤mn＜12．
當(dāng)-2＜n＜0時(shí)，有0＜-n＜2，得0＜-mn＜8，
即-8＜mn＜0．
∴-8＜mn＜12；

（2）由|x+2|+|x-1|＞a-x²+2x恒成立，得a＜x²-2x+|x+2|+|x-1|恒成立，即
a＜

x2-4x-1，x≤-2 x2-2x+3，-2＜x＜1 x2+1，x≥1

，
當(dāng)x≤-2時(shí)，（x²-4x+1）_min=11；
當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，x²-2x+3∈（2，11）；
當(dāng)x≥1時(shí)，（x²+1）_min=2．
∴a＜2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用分類討論求二次函數(shù)的最值，是中檔題．