Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，點D，E分別為線段PB，AB的中點．
（1）求證：AC⊥平面PBC；
（2）設(shè)二面角D-CE-B的平面角為θ，若PC=BC=2，AC=2

3

，求cosθ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PC⊥AC，PB⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBC．
（2）取BC的中點F，連接DF，EF，由已知條件推導(dǎo)出△BCE是等邊三角形，由此能求出cosθ的值．

解答： （1）證明：∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥AC，
又∵PB⊥AC，PC∩PB=P，
∴AC⊥平面PBC
（2）解：∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，
又AC⊥平面PBC，∴AC⊥PC，AC⊥BC，
即CA，AB，CP互相垂直．
如圖，取BC的中點為F，連接DF，EF
∵點D，E分別為線段PB，AB的中點
∴EF∥AC，DE∥PA，DF∥PC
∴EF⊥BC，DF⊥BC，DF⊥平面ABC，
且EF=

1

2

AC=

3

，DF=

1

2

PC=1，CF=

1

2

CB=1
∴CE=

CF2+EF2

=

1+3

=2，
∴BC=CE=BE=2，∴△BCE是等邊三角形，
過F用FM⊥CE交CE于M，連接DM，F(xiàn)M，
∴FM=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

，DM=

DF2+FM2

=

1+( 3 2 )2

=

7

2

，
∴cosθ=cos∠DMF=

MF

DM

=

3 2

7 2

=

21

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運用．