Question

2．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂是a₁與a₅的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2^a_n，判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列．如果是，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比中項(xiàng)列出方程，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）利用等比數(shù)列的定義即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），則由a₁=1得a₂=a₁+d=1+d；a₅=a₁+4d=1+4d．
因?yàn)閍₂是a₁與a₅的等比中項(xiàng)，所以$a_2^2={a_1}•{a_5}$，
即（1+d）²=1+4d，
解得d=0（舍）或d=2，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）•d=2n-1．
（Ⅱ）由${b_n}={2^{a_n}}$，得：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，${b_1}={2^{a_1}}=2≠0$．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{2^{a_n}}}}{{{2^{{a_{n-1}}}}}}=\frac{{{2^{2n-1}}}}{{{2^{2n-3}}}}=4$．
故數(shù)列{b_n}為以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
則有${S_n}={b_1}•\frac{{1-{q^n}}}{1-q}=2•\frac{{1-{4^n}}}{1-4}=\frac{2}{3}×（{{4^n}-1}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等比中項(xiàng)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．