Question

已知焦點在x軸上的橢圓C過點（0，1），且離心率為，Q為橢圓C的左頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
（�。┤糁本�l垂直于x軸，求∠AQB的大�。�
（ⅱ）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標準方程為（a＞b＞0），且a²=b²+c²．
由題意，橢圓C過點（0，1），離心率為，
可知：b=1，=．
所以a²=4．所以，橢圓C的標準方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（﹣2，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）當直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=﹣．
由，解得
即A（﹣，），B（﹣，﹣）（不妨設(shè)點A在x軸上方）．
則直線AQ的斜率1，直線BQ的斜率﹣1．
因為直線AQ的斜率與直線BQ的斜率為﹣1，
所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=．
（ii）當直線l與x軸不垂直時，
由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+）（k≠0）．
由消去y得：
（25+100k²）x²+240k²x+144k²﹣100=0．
因為點A（﹣，0）在橢圓C的內(nèi)部，
顯然△＞0．         
因為 =（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂），y₁=k（x₁+），y₂=k（x₂+），
所以=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2+）（x₁+x₂）+4+
=（1+k²）×+（2+）（）+4+=0
所以 ．
所以△QAB為直角三角形．
假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，則|QA|=|QB|．
取AB的中點M，連接QM，則QM⊥AB．
記點（﹣，0）為N．
另一方面，點M的橫坐標，
所以點M的縱坐標．
所以=（）（）=≠0
所以 與不垂直，矛盾．
所以當直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形．