Question

有一家公司準(zhǔn)備裁減人員．已知這家公司現(xiàn)有職員4a（40＜a＜120，a∈Z）人，每人每年可創(chuàng)純利5萬元．據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)純利0.1萬元，但公司需付下崗職員生活費等每人每年4萬元，并且該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的

3

4

．
（Ⅰ）若該公司裁減x人，可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）該公司為獲得最大的經(jīng)濟效益，應(yīng)裁員多少人？

Answer 1

分析：（ I）設(shè)裁員x人，根據(jù)每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)純利0.1萬元，但公司需付下崗職員生活費等每人每年4萬元，可得經(jīng)濟效益的函數(shù)，利用該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的

3

4

，確定函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）確定函數(shù)的對稱性，分類討論，確定函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（ I）設(shè)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元，則y=（4a-x）（5+0.1x）-4x．
整理得y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a…（5分）
又由該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的

3

4

，
所以4a-x≥

3

4

×4a，即0＜x≤a…（7分）
（Ⅱ）因函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a的對稱軸方程為x=2a-45．
由二次函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)x＜2a-45時，函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a是遞增的；
當(dāng)x＞2a-45時，函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a是遞減的．
∵0＜x≤a．且40＜a≤120
∴①當(dāng)0＜2a-45≤a，即40＜a≤45時，x=2a-45時，
函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a取得最大值…（10分）
②當(dāng)2a-45＞a，即45＜a＜120時，x=a時，
函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a取得最大值…（12分）
綜上所述：當(dāng)40＜a≤45時，應(yīng)裁員（2a-45）人；當(dāng)45＜a＜120時，應(yīng)裁員a人，公司才能獲得最大的經(jīng)濟效益…（13分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．