已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若cosB+2cosC•cos(A-
π
3
)=0，求角C；
（Ⅱ）若C為△ABC的最大內(nèi)角，且2|
CA
|•|
CB
|cos2
C
2
+c2=
25
2
，求△ABC的周長L的取值范圍．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)三角形的角的關(guān)系B=π-（A+C），代入化簡；cosB+cosA•cosC+
3
cosC•sinA=0，得到：sinC+
3
cosC=0，即tanC=
3
，可求解出角C．
（2）根據(jù)題意2|
CA
||
CB
|cos2
C
2
+c2=
25
2
，運(yùn)用三角公式化簡2ab•
1+cocC
2
+c2=
25
2
，得到；ab+abcosC+c2=
25
2
，再利用余弦定理代入可得：ab+
a2+b2-c2
2
+c2=
25
2
，即（a+b）2+c2=25，△ABC的周長L=a+b+c最后利用三角變換，x=a+b=5cosθ，y=c=5sinθ，由a+b＞c＞0得：θ∈(0，
π
4
)得到L=5sinθ+5cosθ，利用三角函數(shù)變換公式求解出L的范圍問題．
解答： 解：（1）∵cosB+cosA•cosC+
3
cosC•sinA=0，B=π-（A+C），
∴-cosAcosCsinAsinC+cosAcosC+
3
cosCsinA=0
sinC+
3
cosC=0
即tanC=-
3

所以C=
2π
3

（2）∵2|
CA
||
CB
|cos2
C
2
+c2=
25
2

2ab•
1+cocC
2
+c2=
25
2
，
ab+abcosC+c2=
25
2

∴ab+
a2+b2-c2
2
+c2=
25
2

即（a+b）2+c2=25
令x=a+b=5cosθ，y=c=5sinθ，
由a+b＞c＞0得：θ∈(0，
π
4
)
則L=a+b+c=x+y=5cosθ+5sinθ=5
2
sin(θ+
π
4
)，θ+
π
4
∈(
π
4
，
π
2
)
從而可得：L∈(5，5
2
)．
點(diǎn)評：本題考查了三角形中的問題，運(yùn)用角的關(guān)系，轉(zhuǎn)為三角函數(shù)取值求解，是一道典型的三角變換的題目．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）為R上奇函數(shù)．當(dāng)x＞0時，f（x）=x（1-x），求f（x）的表達(dá)式，并在所給坐標(biāo)系中畫出f（x）圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=i•（1+i）的模等于（　　）
A、1
B、2
C、2
2
D、
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=b+ax2+2x（a、b是常數(shù)且a＞0，a≠1）在區(qū)間[-
3
2
，0]上有ymax=3，ymin=
5
2
，（1）試求a和b的值．
（2）又已知函數(shù)f（x）=lg（ax2+2x+1）
①若f（x）的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍及f（x）的值域；
②若f（x）的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍及f（x）的定義域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=e-x（x-1）．給出以下命題：
①當(dāng)x＜0時，f（x）=ex（x+1）；              
②函數(shù)f（x）有五個零點(diǎn)；
③若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則實數(shù)m的取值范圍是f（-2）≤m≤f（2）；
④對?x1，x2∈R，|f（x2）-f（x1）|＜2恒成立．
其中正確命題的序號是（　　）
A、①④B、①③C、②③D、③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面α∥β∥γ，直線l、m分別與α、β、γ相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F．若
AB
BC
=
1
3
，DF=20，則EF=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)sin2θ=a，cos2θ=b，0＜θ＜
π
4
，給出tan(θ+
π
4
)值的四個答案：
①
b
1-a
；②
a
1-b
；③
1+b
a
；④
1+a
b
．
其中正確的是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，且a5=9，S3=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項an；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列bn=
1
anan+1
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

a、b、c是三角形ABC三邊，且
1
a
+
1
b
＜
2
c
，則∠C的取值范圍是
 
．

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