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【題目】如圖，三棱柱中，側面是菱形，.

（I）證明：；

（II）若，求直線與平面所成角的余弦值.

【答案】（I）見解析； （II） .

【解析】

（I）連接交于點，連接，通過證明以及，證得平面，由此證得，根據垂直平分線的性質可知.（II）先證得平面，由此以為原點建立空間直角坐標系，通過計算直線的方向向量以及平面的法向量，由此求得線面角的正弦值，進而求得余弦值.

（I）證明：連接交于點，連接，

因為四邊形為菱形，所以且為中點,

所以平面，

平面，

為中點，為的垂直平分線，

（II）已知，，故

由（I）知則，

又

又平面

故以為原點，、、所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系

則、、、

設平面的一個法向量為，則

，設

設直線與平面所成角為

則

故直線與平面所成角的余弦值為

練習冊系列答案
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【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若函數在區(qū)間上無零點，求的取值范圍.

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【題目】下圖是某市年至年環(huán)境基礎設施投資額(單位：億元)的條形圖．

（1）若從年到年的五年中，任意選取兩年，則這兩年的投資額的平均數不少于億元的概率；

（2）為了預測該市年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據年至年的數據(時間變量的值依次為)建立模型①：；根據年至年的數據(時間變量的值依次為)建立模型②：．

(i)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值;

(ii)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

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【題目】先后拋擲一枚骰子兩次，將出現的點數分別記為.

（1）設向量，，求的概率；

（2）求在點數之和不大于5的條件下，中至少有一個為2的概率.

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（2）過點能否作一條直線，與點的軌跡交于兩點，且點為線段的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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（1）求拋物線的方程；

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【題目】[2019·武漢六中]袋子中有四個小球，分別寫有“武、漢、軍、運”四個字，從中任取一個小球，有放回抽取，直到取到“軍”“運”二字就停止，用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率：利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數，分別用0，1，2，3代表“軍、運、武、漢”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取球三次的結果，經隨機模擬產生了以下16組隨機數：

232 321 230 023 123 021 132 220

231 130 133 231 331 320 122 233

由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知定點M（-3，0），Q、P分別是x軸、y軸上的動點，且使MP⊥PQ，點N在直線PQ上，

（1）求動點N的軌跡C的方程.

（2）過點T（-1，0）作直線l與軌跡C交于兩點A、B，問：在x軸上是否存在一點D，使△ABD為等邊三角形；若存在，試求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

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【題目】手機作為客戶端越來越為人們所青睞，通過手機實現衣食住行消費已經成為一種主要的消費方式.在某市，隨機調查了200名顧客購物時使用手機支付的情況，得到如下的2×2列聯表，已知從使用手機支付的人群中隨機抽取1人，抽到青年的概率為.

（I）根據已知條件完成2×2列聯表，并根據此資料判斷是否有99.5%的把握認為“市場購物用手機支付與年齡有關”？

2×2列聯表：

青年

中老年

合計

使用手機支付

120

不使用手機支付

48

合計

200

（Ⅱ）現采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”抽取一個容量為10的樣本，再從中隨機抽取3人，求這三人中“使用手機支付”的人數的分布列及期望.

附：

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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