Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

(Ⅰ) 當(dāng)a＝－1時(shí)，求證： ；

(Ⅱ) 對(duì)任意，存在，使成立，求a的取值范圍.（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得函數(shù)的最大值為 即可證得結(jié)論；

(2)首先利用分析法真理要證明的不等式，然后構(gòu)造函數(shù)證明結(jié)論即可.

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng) a＝－1時(shí)， （x＞－1），

則，令，得．

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也為最大值，所以，

所以， ，得證．

（Ⅱ）不等式，

即為．

而

．

令．故對(duì)任意，存在，使恒成立，

所以．

設(shè)，則，

設(shè)，知對(duì)于恒成立，

則為上的增函數(shù)，于是，

即對(duì)于恒成立，所以為上的增函數(shù)．

所以

設(shè)，即，

當(dāng)a≥0時(shí)， 為上的減函數(shù)，且其值域?yàn)镽，可知符合題意．

當(dāng)a＜0時(shí)， ，由可得，

由得，則p(x)在上為增函數(shù)；由得，則p(x)在上為減函數(shù)，所以．

從而由，解得．

綜上所述，a的取值范圍是.