Question

如圖，鐵路線上AC段長99km，工廠B到鐵路的距離BC為20km，現(xiàn)在要在AC上某一點D處，向B修一條公路，已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運費之比為λ（0＜λ＜1），為了使從A到B的運費最省，D應(yīng)選在離C距離多遠處．

Answer 1

分析：設(shè)∠BDC=α，總運費為T，鐵路和公路每公里的運費分別為λ和1，則可構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法可求最小值．

解答：解：設(shè)∠BDC=α，總運費為T，鐵路和公路每公里的運費分別為λ和1
則T=99λ-

20λcosα

sinα

+

20

sinα

∴T′=

20λ-20cosα

sin2α

由導(dǎo)數(shù)為0得，cosα=λ
且cosα∈（0，λ）時單調(diào)減，cosα∈（λ，+∞） 時單調(diào)增
∴cosα=λ時，T取極小值，且為最小值
此時DC=

20λ

1-λ2

km

點評：本題以實際問題為證題，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)的運用，關(guān)鍵是引入角，從而用導(dǎo)數(shù)法求解．