Question

【題目】【2017長沙模擬】如圖，在直棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．

(1)求證：AD⊥C1E；

(2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1A1B1E的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】 (1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.①

又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，

而AD平面ABC，所以AD⊥BB1.②

由①②得AD⊥平面BB1C1C.

由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.

(2)因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題設(shè)，∠A1C1E＝60°.

因?yàn)椤螧1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，從而A1C1⊥平面A1ABB1，

于是A1C1⊥A1E. 故C1E＝＝2，又B1C1＝＝2，

所以B1E＝＝2，從而V三棱錐C1A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝.