Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+12在點(diǎn)x=2處取得極值-4．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+b，
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+12在點(diǎn)x=2處取得極值-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=-4}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{4a+b+8=0}\\{12a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-12}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：f（x）=x³-12x+12，
f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）在[-3，-2）遞增，在（-2，2）遞減，在（2，3]遞增，
∴f（x）_min=f（-3）=-21，f（x）_max=f（-2）=28．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．