Question

7．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，∠BAC=$\frac{π}{3}$，O為△ABC的內心，則$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{AB}$的值為$\sqrt{3}-3$．

Answer 1

分析 可設切點分別為D，E，F(xiàn)，并連接OD，OE，OF，并畫出圖形，根據(jù)條件由余弦定理可求得BC=$\sqrt{3}$，根據(jù)三角形的面積公式可得到$\frac{1}{2}•2•1•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}（2+1+\sqrt{3}）r$，r為內切圓半徑，從而可求r，進而求出OA，從而由向量數(shù)量積的計算公式即可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：如圖，設切點分別為D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF；

在△ABC中，由余弦定理得，$B{C}^{2}=4+1-2×2×1×\frac{1}{2}=3$；
∴$BC=\sqrt{3}$，設內切圓半徑為r，則：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•2•1•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}（2+1+\sqrt{3}）r$；
∴$r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
又$∠DAO=\frac{π}{6}$；
∴在Rt△ADO中，AO=$\sqrt{3}-1$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AB}|cos\frac{5π}{6}$=$（\sqrt{3}-1）×2×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=\sqrt{3}-3$．
故答案為：$\sqrt{3}-3$．

點評 考查三角形內心的定義，余弦定理，三角形的面積公式，以及向量數(shù)量積的計算公式．