Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（2）=2，又函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a、b滿足f（2a+b）＜2，則$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{2}{3}$，2）
• B． （-∞，$\frac{2}{3}$）∪（2，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 由已知可得2a+b＜2，又由a＞0．b＞0；畫出滿足約束條件的可行域，結(jié)合$\frac{b+2}{a+2}$的幾何意義，可得答案．

解答 解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增，
∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜2，
又由f（2）=2，即f（2a+b）＜2，
即2a+b＜2，
又由a＞0．b＞0；
故a，b所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖所示：

$\frac{b+2}{a+2}$表示動(dòng)點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)（-2，-2）連線的斜率，
當(dāng)直線過(guò)（1，0）點(diǎn)時(shí)，$\frac{b+2}{a+2}$=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)直線過(guò)（0，2）點(diǎn)時(shí)，$\frac{b+2}{a+2}$=2，
故$\frac{b+2}{a+2}$∈（$\frac{2}{3}$，2），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，直線的斜率公式，線性規(guī)劃的應(yīng)用，難度中檔．