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如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且．

(1)求證：面平面；
(2)求二面角的余弦值．
（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，法一，先利用面面垂直的性質判斷出，從而平面，所以垂直于面內的任意的線，由，判斷是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空間向量法，通過證明，其它過程與法一相同；第二問，由第一問得到平面的法向量為，而平面的法向量需要計算求出，
，所以，最后用夾角公式求夾角余弦值.
試題解析：(1)解法一：因為面面平面面
為正方形，，平面
所以平面∴                2分
又，所以是等腰直角三角形，
且，即 ，
，且、面，
面            
又面，∴面面.          6分
解法二：
如圖,

取的中點, 連結,.
∵,  ∴.
∵側面底面,
平面平面, 
∴平面,
而分別為的中點,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以為原點,向量為軸建立空間直線坐標系,
則有,,,,,.
∵為的中點, ∴                     2分
(1)∵，，  ∴，
∴,從而,又,,
∴平面，而平面，
∴平面平面．                     6分
（2）由（1）知平面的法向量為，
設平面的法向量為，∵，
∴由，，可得
取，則故.
∴,
即二面角的余弦值為,        12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，點D為AC的中點，點E在線段AA1上．

(1)當AE∶EA1＝1∶2時，求證DE⊥BC1；
(2)是否存在點E，使二面角D-BE-A等于60°，若存在求AE的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，是邊長為3的正方形，，，與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設點是線段上一動點，試確定的位置，使得，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，，點、分別為、的中點.

（1）求證：平面；
（2）求直線和平面所成角的正弦值；
（3）能否在上找到一點，使得平面？若能，請指出點的位置，并加以證明；若不能，請說明理由 .

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

以下四組向量：
①
a
=(1，-2，1)，
b
=(-1，2，-1)；
②
a
=(8，4，0)，
b
=(2，1，0)；
③
a
=(1，0，-1)，
b
=(-3，0，3)；
④
a
=(-
4
3
，1，-1)，
b
=(4，-3，3)
其中互相平行的是（　�。�
A．②③B．①④C．①②④D．①②③④

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知等差數列的前n項和為，且，則過點和的直線的一個方向向量的坐標可以是（    ）
A．B．(2，4)C．D．（-1，-1）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．

（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（理）如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中

（1）求證：；
（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，且側棱面，點是的中點．
（1）  求證：；（2）求證：∥平面

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