設函數(shù)=
(
為自然對數(shù)的底數(shù)),
,記
.
(1)為
的導函數(shù),判斷函數(shù)
的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若函數(shù)=0有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
(1)在
上單調(diào)遞增.(2)實數(shù)a的取值范圍是(0,2)。
【解析】
試題分析:(1),∴
,
令,則
,
∴在
上單調(diào)遞增,即
在
上單調(diào)遞增.
(2)由(1)知在
上單調(diào)遞增,而
,
∴有唯一解
,
的變化情況如下表所示:
x |
|
0 |
|
|
- |
0 |
+ |
|
遞減 |
極小值 |
遞增 |
又∵函數(shù)有兩個零點,
∴方程有兩個根,即方程
有兩個根
而,
,
解得.
所以,若函數(shù)有兩個零點,實數(shù)a的取值范圍是(0,2)
考點:本題主要考查了導數(shù)的運算,導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用,函數(shù)零點。
點評:中檔題,利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進一步判斷函數(shù)零點情況,提供了解答此類問題的一般方法。
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆北京市西城區(qū)高三二模試卷數(shù)學(文科) 題型:解答題
設函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線在點
(其中
)處的切線為
,
與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
,求
的最大值
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年北京市西城區(qū)高三二模試卷數(shù)學(文科) 題型:解答題
設函數(shù),其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線在點
(其中
)處的切線為
,
與
軸、
軸所圍成的三角形面積為
,求
的最大值
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年河北省高三押題數(shù)學(理)試題 題型:解答題
設函數(shù),
(
為自然對數(shù)的底).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若存在常數(shù)和
,使得函數(shù)
和
對其定義域內(nèi)的任意實數(shù)
分別滿足
和
,則稱直線
:
為函數(shù)
和
的“隔離直線”.試問:函數(shù)
和
是否存在“隔離直線”?若存在,求出“隔
|
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年黑龍江省鶴崗一中高二(下)期中數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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科目:高中數(shù)學 來源:山西省康杰中學高三5月第三次模擬(理) 題型:解答題
設函數(shù)且
其中
為自然對數(shù)的底數(shù)。
(Ⅰ)求與
的關系;(Ⅱ)若
在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求
的取值范圍;
(Ⅲ)設,若在
上至少存在一點
,使
成立。求實
數(shù)的取值范圍。
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