Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），f（5）=0，且對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，則不等式x?f（-x）＞0的解集為（　　）

• A、（-5，0）∪（0，5）
• B、（-∞，-5）∪（5，+∞）
• C、（-∞，-5）∪（0，5）
• D、（-5，0）∪（5，+∞）

Answer 1

分析：由條件對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系解不等式即可．

解答：解：∵對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都滿足[f（x₁）-f（x₂）]（x₂-x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
∴不等式x•f（-x）＞0等價(jià)為-x•f（x）＞0，即x•f（x）＜0．
∵f（5）=0，
∴f（-5）=-f（5）=0．
作出函數(shù)f（x）的草圖，由圖象可知，
不等式x•f（x）＜0等價(jià)為

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
即0＜x＜5或-5＜x＜0，
即不等式的解集為（-5，0）∪（0，5）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用條件確定函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．