Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)， 是平面內(nèi)一動點(diǎn)，直線、斜率之積為.

(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)作直線與軌跡交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

解析:

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，有

 .                ………………… 3分

化簡并整理，得

.

∴動點(diǎn)的軌跡的方程是.           ………………… 5分

 (Ⅱ)解法一：依題意，直線過點(diǎn)且斜率不為零，故可設(shè)其方程為, ………6分

由方程組

   消去，并整理得

       

設(shè),,則

   ，……………………………………………………… 8分

∴

∴,

,           …………………………………………… 10分

(1)當(dāng)時，；           …………………………………………… 11分

(2)當(dāng)時,

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分

解法二：依題意，直線過點(diǎn)且斜率不為零.

當(dāng)直線與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時，；   …………6分

當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為,   …………7分

由方程組

   消去，并整理得

       

設(shè),,則

   ，……………………………………………………… 8分

∴

,

,              ………………… 10分

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分