設(shè)y=f(x)是實數(shù)函數(shù)(即x，f(x)為實數(shù))，且f(x)-2f(
1
x
)=x，求證：|f(x)|≥
2
3
2
．
分析：由f(x)-2f(
1
x
)=x用
1
x
代換x可得，f（
1
x
）-2f（x）=
1
x
，聯(lián)立可求（x）=-
1
3
(x+
2
x
)，利用基本不等式可證
解答：證明：∵f(x)-2f(
1
x
)=x①
用
1
x
代換x可得，f（
1
x
）-2f（x）=
1
x
②
聯(lián)立①②消去f（
1
x
）可求得f（x）=-
1
3
(x+
2
x
)
∴|f（x）|=
1
3
|x+
2
x
|=
1
3
(|x|+|
2
x
|)≥
1
3
•2
2

∴|f(x)|≥
2
3
2
．
點評：本題主要考查了利用方程組法求解函數(shù)的解析式，及利用基本不等式證明不等式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

設(shè)y=f(x)是R上的奇函數(shù)．

f(x＋2)=－f(x)．當(dāng)－1≤x≤1時，．

(1)試證：直線x=1是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸；

(2)試求xÎ [1，5)時，f(x)解析式；

(3)若A={x||f(x)|＞a，xÎ R，且，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

設(shè)y=f(x)是R上的奇函數(shù)．

f(x＋2)=－f(x)．當(dāng)－1≤x≤1時，．

(1)試證：直線x=1是函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸；

(2)試求xÎ [1，5)時，f(x)解析式；

(3)若A={x||f(x)|＞a，xÎ R，且，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省平武中學(xué)2011屆高三一診模擬演練文科數(shù)學(xué)試題 題型：013

設(shè)函數(shù)f(x)是實數(shù)集R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝2010處的切線的斜率為

[　　]
A．

－

B．

0

C．

D．

5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省模擬題 題型：證明題

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，則稱y=f(x)是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是區(qū)間（-1，1）上的平緩函數(shù)；
（2）若f(x)是定義在實數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1．

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