Question

1．如圖所示，在南海上有兩座燈塔A，B，這兩座燈座之間的距離為60千米，有個(gè)貨船從島P處出發(fā)前往距離120千米島Q處，行駛至一半路程時(shí)剛好到達(dá)M處，恰好M處在燈塔A的正南方，也正好在燈塔B的正西方，向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{BA}$，則$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，用A，B的坐標(biāo)表示出P，Q的坐標(biāo)，從而得出答案．

解答 解：以M為原點(diǎn)，以MB，MA為坐標(biāo)軸建立平面坐標(biāo)系，設(shè)B（a，0），A（0，b），
則直線AB的斜率k=-$\frac{a}$，
∵PQ⊥AB，∴直線PQ的斜率為$\frac{a}$．
∴直線PQ的方程為y=$\frac{a}x$，
設(shè)P（m，$\frac{a}m$），∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，∴Q（-m，-$\frac{a}m$），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（-m，-$\frac{a}m$-b），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，$\frac{a}m$），
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=ma-m²-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{m}^{2}$-am=-（m²+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{m}^{2}$），
∵PM=$\frac{1}{2}$PQ=60，∴m²+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}{m}^{2}$=3600，
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．
故答案為：-3600．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)法是常用方法，屬于中檔題．