Question

命題p：方程x²+mx+1=0有負(fù)實(shí)根；命題q：函數(shù)f（x）=x-mlnx在區(qū)間（0，n）上是減函數(shù)；若命題p是命題q的充分非必要條件，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知中命題p：方程x²+mx+1=0有負(fù)實(shí)根，命題q：函數(shù)f（x）=x-mlnx在區(qū)間（0，n）上是減函數(shù)．我們可以求出滿足條件的元素組成的集合P，Q，由p是q的充分非必要條件，易得P?Q，并由此構(gòu)造關(guān)于n的不等式，解不等式，即可得到滿足條件的實(shí)數(shù)n的取值范圍．

解答：解：因?yàn)榉匠蘹²+mx+1=0有負(fù)實(shí)根，所以

-m＜0 m2-4≥0

即m≥2，m的范圍是[2，+∞），…（4分）
因?yàn)閒'（x）=1-

m

x

=

x-m

x

，…（6分）
當(dāng)m≤0時(shí)f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，與函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，n）上是減函數(shù)矛盾；所以m＞0，…（8分）
f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，m），增區(qū)間是（m，+∞） …（10分）
而函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，n）上是減函數(shù)，所以m的范圍是[n，+∞） …（12分）
由于命題p是命題q的充分非必要條件，
所以[2，+∞）?[n，+∞），…（14分）
所以n的取值范圍是（0，2）…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的判斷，函數(shù)的性質(zhì)等，其中同滿足條件的元素組成的集合P，Q，并根據(jù)集合法判斷充要條件的法則，得到P?Q，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于n的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．