Question

14．已知E（-2，4），F(xiàn)（4，1），G（8，9），△EFG的內(nèi)切圓記為⊙M．
（1）試求出⊙M的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，3）作⊙M的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B；又過(guò)P作⊙N：x²+y²-4x+λy+4=0的兩條切線，切點(diǎn)分別記為C，D．試確定λ的值，使AB⊥CD．

Answer 1

分析 （1）E（-2，4），F(xiàn)（4，1），G（8，9），△EFG為直角三角形，三邊方程分別為x-2y+10=0，x+2y-6=0，2x-y-7=0，三邊長(zhǎng)分別為3$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，5$\sqrt{5}$，即可求圓的方程．
（2）根據(jù)PM⊥AB，PN⊥CD，則要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，建立關(guān)于λ的方程來(lái)求解．

解答 解：（1）E（-2，4），F(xiàn)（4，1），G（8，9），△EFG為直角三角形，三邊方程分別為x-2y+10=0，x+2y-6=0，2x-y-7=0，三邊長(zhǎng)分別為3$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，5$\sqrt{5}$
∴R=$\sqrt{5}$
設(shè)M（a，b），則$\frac{|a-2b+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|a+2b-6|}{\sqrt{5}}=\frac{|2a-b-7|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$
解得a=3，b=4
所以圓M的方程為（x-3）²+（y-4）²=5；
（2）要使AB⊥CD，則PM⊥PN，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，
∵N（2，-$\frac{λ}{2}$），P（0，3），
∴（3，1）•（2，-$\frac{λ}{2}$-3）=0，
∴6-$\frac{λ}{2}$-3=0
∴λ=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)切圓的求法以及圓的切線的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．