Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0；
（1）求f（x）解析式；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0，

∴﹣ =﹣1，f（﹣1）=a﹣b+1=0，

解得a=1，b=2，

∴f（x）=x2+2x+1

（2）解：f（x）=|x+1|﹣k+3，

∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3，

即（x+1）2=|x+1|﹣k+3，

設(shè)|x+1|=t，t≥0，

∴t2﹣t+k﹣3=0，

∵x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

∴關(guān)于t的方程由兩個(gè)相等的根或有一個(gè)正根，

∴△=1﹣4（k﹣3）=0，或

解得k= ，或k＜3，

故有k的取值范圍為{k|k= ，或k＜3}

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸和函數(shù)的最值，即可求出函數(shù)的解析式，（2）設(shè)|x+1|=t，t≥0，得到t2﹣t+k﹣3=0，由x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，得到關(guān)于t的方程由兩個(gè)相等的根或有一個(gè)正根，解得即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．