（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，,四邊形是菱形，且交于點，是上任意一點．

（1）求證：；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點，求與平面所成角的正弦值．

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）線線垂直問題轉(zhuǎn)化為線面問題即可解決，即，由平面，得，又分析可知，且，所以 （2）解法1：（空間向量在立體幾何中的應用）設(shè)與平面所成的角為，即與平面所成角為與平面的法向量所成角，如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)則，，

平面的一個法向量為（1,0,0），，得到

再由二面角的余弦值為，，解得，

故，，最后求得；

解法2：通過構(gòu)造法作出二面角的平面角,

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角,

由，求出點到平面的距離

試題解析：（1）因為平面，所以， 1分

因為四邊形為菱形，所以 2分

又

因為 5分

（2）解法1:

連接在中，

所以分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)則，． 6分

由（1）知，平面的一個法向量為（1,0,0）， 設(shè)平面的一個法向量為，則得，令，得 8分

因為二面角的余弦值為，所以，

解得或（舍去），所以 10分

設(shè)與平面所成的角為．因為，，

∴

所以與平面所成角的正弦值為． 12分

解法2:

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角

由，求出點到平面的距離

．

考點：1、線面垂直和線線垂直的互化；2、空間向量在立體幾何中的應用；3、空間想象能力和綜合分析能力．

練習冊系列答案
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（1）求證：平分角；

（2）已知，求的值．

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A． B． C． D．

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A．0＜b≤1 B．0＜b＜1 C．0≤b≤1 D．b＞1．

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函數(shù)的定義域是( )．

A． B． C． D．

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A．3 B．4 C．5 D．6

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設(shè)，則“”是“恒成立”的（ ）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

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某幾何體的三視圖如圖所示，其中三角形的三邊長與圓的直徑均為2，則該幾何體的體積為（ ）

A． B．

C． D．

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