Question

（2012•焦作模擬）已知點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一點，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2成立，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．4
• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  5

  3

Answer 1

分析：設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三個高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=

1

2

| F1F2|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．

解答：解：如圖，設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF1=

1

2

×|PF1| ×IF=

r

2

|PF1|，S△IPF2=

1

2

×|PF2| ×IG=

r

2

|PF2|
S△IF1F2=

1

2

×|F1F2| ×IE=

r

2

|F1F2|，其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵S△IPF1=S△IPF2+

1

2

S△IF1F2
∴

r

2

|PF1|=

r

2

|PF2|+

r

4

|F1F2|
兩邊約去

r

2

得：|PF₁|=|PF₂|+

1

2

| F1F2|
∴|PF₁|-|PF₂|=

1

2

| F1F2|
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，

1

2

|F1F2|=c
∴2a=c?離心率為e=

c

a

=2
故選C

點評：本題將三角形的內(nèi)切圓放入到雙曲線當(dāng)中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．