Question

6．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對一切x，y＞0滿足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），且當0＜x＜1，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）討論該函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（x+1）-f（$\frac{1}{x-1}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法進行求f（1）的值；      
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，則有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，即f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)遞增．
（3）由f（x+1）-f（$\frac{1}{x-1}$）＜0．得f（x+1）＜f（$\frac{1}{x-1}$），
由（2）得函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)遞增．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{\frac{1}{x-1}＞0}\\{x+1＜\frac{1}{x-1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\\{{x}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞1}\\{-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得1＜x＜$\sqrt{2}$，
即不等式的解集為（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．