Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x），a∈R的圖象關于原點對稱．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明y=f（x）的單調性； 
（3）求f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)奇偶性的定義得出f（-x）+f（x）=0，再利用函數(shù)解析式即可求出a值；
（1）構造函數(shù)u（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，變形得出u（x）=$\frac{2}{1-x}$-1，根據(jù)單調性的定義判斷得出任意實數(shù)x₁，x₂，∈（-1，1）且x₁＜x₂，u（x₁）＜u（x₂）利用復合函數(shù)單調性判斷即可得出log₂u（x₁）＜log₂（x₂），f（x₁）＜f（x₂）．證明即可．
（3）把不等式轉化為$\frac{1+x}{1-x}$＞1，求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱，
∴f（-x）+f（x）=0，
有l(wèi)og₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
化簡得 （a+1）[log₂（1-x）+log₂（1+x）]=0
∵log₂（1-x）+log₂（1+x）不恒為0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$=log₂（$\frac{2}{1-x}$-1）
∵$\frac{1+x}{1-x}$＞0，-1＜x＜1，
∴設任意實數(shù)x₁，x₂，∈（-1，1）且x₁＜x₂
u（x₁）-u（x₂）=$\frac{2}{1-{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{1-{x}_{2}}$+1=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$
∵設任意實數(shù)x₁，x₂，∈（-1，1）且x₁＜x₂
∴1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
即可$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＜0，
∴u（x₁）＜u（x₂）
∵2＞1，
∴l(xiāng)og₂u（x₁）＜log₂（x₂），
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴y=f（x）在（-1，1）上單調遞增．
（3）∵f（x）＞0，
∴l(xiāng)og₂$\frac{1+x}{1-x}$＞0，
根對數(shù)函數(shù)的單調性得出：$\frac{1+x}{1-x}$＞1，
即0＜x＜1，
∴f（x）＞0的解集為：（0，1）

點評 本題以對數(shù)型復合函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調性與值域，屬于中檔題．本題的綜合性較強，在解題時作差判斷，轉化化歸思路的適時恰當?shù)倪\用．