Question

19．某校為了解學生一次考試后數學、物理兩個科目的成績情況，從中隨機抽取了25位考生的成績進行統計分析．25位考生的數學成績已經統計在莖葉圖中，物理成績如下：
90    71    64     66   72   39    49   46    55    56   85    52    6l
80    66    67    78    70   51    65   42    73    77   58     67

（1）請根據數據在答題卡的莖葉圖中完成物理成績統計；
（ 2）請根據數據在答題卡上完成數學成績的頻數分布表及數學成績的頻率分布直方圖；
數學成績的頻數分布表

數學成績分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120]
頻數	1	2	3	7	6	5	1

（3）設上述樣本中第i位考生的數學、物理成績分別為x_i，y_i（i=1，2，3，…，25）．通過對樣本數據進行初步處理發(fā)現：數學、物理成績具有線性相關關系，得到：
$\overline{x}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}{x}_{i}$=86，$\overline{y}$=$\frac{1}{25}$$\sum_{i=1}^{25}$y_i=64，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4698，$\sum_{i=1}^{25}$（x_i-$\overline{x}$）²=5524，$\frac{4698}{5524}$≈0.85
求y關于x的線性回歸方程，并據此預測當某考生的數學成績?yōu)?00分時，該考生的物理成績（精確到1分）．附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）以十位數為莖，以個位數為葉填寫；
（2）根據數學成績的莖葉圖計算各組的頻數，并計算頻率與組距的商作為直方圖小矩形的高；
（3）根據回歸系數公式計算回歸系數，得出回歸方程，利用回歸方程進行估計．

解答 解：（1）物理成績的莖葉圖如下：

莖	物理成績
3	9
4	9  6  2
5	5  6  2  1  8
6	4  6  1  6  7  5  7
7	1  2  8  0  3  7
8	5  0
9	0
10
11

（2）數學成績的頻數分布表如圖：

數學成績分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120]
頻數	1	2	3	7	6	5	1

數學成績的頻率分布直方圖為：

（3）$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{4698}{5524}$≈0.85，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=64-0.85×86=-9.1．
∴y關于x的回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=0.85x-9.1．
當x=100時，$\stackrel{∧}{y}$=85-9.1=75.9≈76．
∴當某考生的數學成績?yōu)?00分時，該考生的物理成績約為76分．

點評 本題考查了莖葉圖，頻率分布直方圖的制作，線性回歸方程的求解，屬于中檔題．