Question

7．直線y=kx（k＞0）與E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1交于A，B，C在x軸上，且AC⊥x軸，直線BC與E交于D，若AB⊥AD，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 將直線y=kx代入橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，可得C的坐標(biāo)，求出直線BC的斜率，直線BC的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得D的坐標(biāo)，求得直線AD的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡整理可得a²=2b²，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由y=kx代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，可得
（b²+a²k²）x²=a²b²，解得x=±$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，$\frac{abk}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$），B（-$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，-$\frac{abk}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$），C（$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$，0），
直線BC的斜率為k_BC=$\frac{{y}_{C}-{y}_{B}}{{x}_{C}-{x}_{B}}$=$\frac{abk}{2ab}$=$\frac{k}{2}$，
可得直線BC的方程為y=$\frac{k}{2}$（x-$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$），
代入橢圓方程可得（b²+$\frac{{a}^{2}{k}^{2}}{4}$）x²-$\frac{{a}^{3}b{k}^{2}}{2\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$x-$\frac{{a}^{2}^{2}（4^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}）}{4（^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）}$=0，
可得-$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$•x_D=-$\frac{{a}^{2}^{2}（4^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}）}{（^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）（4^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）}$，
解得x_D=$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$•$\frac{4^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}}{4^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y_D=$\frac{ab}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$•$\frac{{a}^{2}{k}^{3}}{4^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由AB⊥AD，可得k_AD=-$\frac{1}{k}$，
即為$\frac{{y}_{D}-{y}_{A}}{{x}_{D}-{x}_{A}}$=$\frac{k-\frac{{a}^{2}{k}^{3}}{4^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{1-\frac{4^{2}+3{a}^{2}{k}^{2}}{4^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=-$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{k}$，
即有a²=2b²=2（a²-c²），
即為a²=2c²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．