Question

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n2+n，n∈N*,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3，n∈N*.

(1)求an,bn; (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.

 

Answer 1

(1) an=4n-1，bn=2n-1(n∈N*)；（2）Tn=5+(4n-5)×2n.

【解析】

試題分析：(1)本小題中已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn的表達(dá)式已知，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，而當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1且檢查是否符合前式，在an求出之后利用an=4log2bn+3求得bn；（2）可知an·bn的表達(dá)式是等差乘以等比形式，求這類數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，只需用錯(cuò)位相減法可完成求和，即若等比數(shù)列的公比為q，則由Tn -qTn進(jìn)行錯(cuò)位相減，整理出Tn即可.

試題解析：(1)由Sn=2n2+n,可得：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1, 當(dāng)n=1時(shí)，a1=3符合上式，所以an=4n-1(n∈N*).由an=4log2bn+3，可得4n-1=4log2bn+3, 解得bn=2n-1(n∈N*).

(2)anbn=(4n-1)·2n-1, ∴Tn=3+7×21+11×22+15×23+…+(4n-1)×2n-1，①

2Tn=3×21+7×22+11×23+15×24+…+(4n-1)×2n，②

①-②可得：

-Tn=3+4[21+22+23+24+…+2n-1]-(4n-1)×2n=3+4×-(4n-1)×2n=-5+(5-4n)×2n,

∴Tn=5+(4n-5)×2n.

考點(diǎn)：與的關(guān)系：，錯(cuò)位相減法求和.