Question

已知(x+

1

2 x

)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（I）利用二項展開式的通項公式求出展開式前三項的系數(shù)，列出方程求出n．
（II）設(shè)出系數(shù)最大的項，據(jù)最大的系數(shù)大于等于它前一項的系數(shù)同時大于等于它后一項的系數(shù)，列出不等式組求出r，求出系數(shù)最大的項．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)，得

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，
即n²-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．
（Ⅱ）設(shè)第r+1的系數(shù)最大，則

1 2r C r 8 ≥ 1 2r+1 C r+1 8 1 2r C r 8 ≥ 1 2r-1 C r-1 8 .

即

1 8-r ≥ 1 2(r+1) 1 2r ≥ 1 9-1 .

解得r=2或r=3．
所以系數(shù)最大的項為T₃=7x⁵，T4=7x

7

2

．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題；考查二項展開式中系數(shù)最大項的求法．