已知(
x
+
1
2
x
)n
展開式中的前三項系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求n的值;
(2)求展開式中的常數(shù)項.
分析:(1)由于(
x
+
1
2
x
)n
展開式中的前三項系數(shù)為:
C
0
n
,
1
2
C
1
n
,
1
4
C
2
n
,這三數(shù)成等差數(shù)列⇒2×
1
2
C
1
n
=
C
0
n
+
1
4
C
2
n
,從而可求得n;
(2)由(1)求得n=8,利用(
x
+
1
2
x
)n
展開式的通項公式Tr+1=
C
r
n
(x
1
2
)
n-r
(
1
2
)
r
(x-
1
2
)
r
=(
1
2
)
r
C
r
n
x
n-2r
2
,由
n-r
2
=0求得r,從而可求得展開式中的常數(shù)項.
解答:解:(1)∵(
x
+
1
2
x
)n
展開式中的前三項系數(shù)
C
0
n
,
1
2
C
1
n
1
4
C
2
n
成等差數(shù)列,
∴2×
1
2
C
1
n
=
C
0
n
+
1
4
C
2
n
,即n2-9n+8=0,
∴n=8或n=1(舍去),
∴n=8;
(2)∵(
x
+
1
2
x
)
8
展開式的通項公式Tr+1=
C
r
8
(x
1
2
)
8-r
(
1
2
)
r
(x-
1
2
)
r
=(
1
2
)
r
C
r
8
x
8-2r
2

∴要使Tr+1項為常數(shù)項,則8-2r=0,
∴r=4,
∴常數(shù)項為:T5=(
1
2
)
4
C
4
8
=
35
8
點評:本題考查二項式定理的應(yīng)用與等差數(shù)列的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握好二項展開式的通項公式,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知(x+
12x
)n
展開式的第二項與第三項的系數(shù)比是1:2,則n=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知(x+
1
2
x
)n
的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求n的值;
(Ⅱ)求展開式中系數(shù)最大的項.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知(
x
+
1
2
x
)n
展開式的前三項系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求n的值;
(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;
(3)求展開式中系數(shù)最大的項.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知(x-
1
2
x
)n
的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為64,則展開式中含x3項的系數(shù)是( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案