Question

18．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O為原正方形中心，求折起后∠EOF的大�。�

Answer 1

分析 可連接BO，DO，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直便有BO⊥AC，DO⊥AC，而折成的為直二面角，從而平面ABC⊥平面ADC，從而可得到BO⊥平面ADC，這便可得出OD，OC，OB三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．然后求出空間一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得出向量$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}$的坐標(biāo)，這樣便可根據(jù)向量夾角的余弦公式求出向量$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OF}$的夾角，從而便可得出∠EOF的大�。�

解答 解：折起后的圖形如下所示：
連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC；
又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC=AC；
∴BO⊥平面ADC；
∴OD，OC，OB三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
O（0，0，0），A（0，-1，0），D（1，0，0），E（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0$），B（0，0，1），C（0，1，0），F(xiàn)（$0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{OE}=（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0），\overrightarrow{OF}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$cos＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}＞=\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}}{|\overrightarrow{OE}||\overrightarrow{OF}|}$=$\frac{-\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{2}}•\sqrt{\frac{1}{2}}}=-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{OF}＞=120°$；
∴∠EOF=120°．

點(diǎn)評(píng) 考查二面角及直二面角的概念，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求空間角的方法，能求空間點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．