Question

6．為了解沈陽市高三學(xué)生某次模擬考試的數(shù)學(xué)成績(jī)的某項(xiàng)指標(biāo)，從所有成績(jī)?cè)诩案窬�以上（90及90分以上）的考生中抽取一部分考生對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將成績(jī)按如下方式分成六組，第一組[90，100）、第二組[100，110）…第六組[140，150]．如圖為其頻率分布直方圖的一部分，若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人．
（Ⅰ）請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績(jī)分別為x，y．若|x-y|≥10，則稱此二
人為“黃金幫扶組”，試求選出的二人為“黃金幫扶組”的概率P₁；
（Ⅲ）用這部分考生成績(jī)分布的頻率估計(jì)全市考生的成績(jī)分布，并從全市考生中隨機(jī)抽取三名考生，求成績(jī)不低于120分的人數(shù)ξ分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)第四、五組的頻率分別為x，y，由已知列出方程組，求出x=0.15，y=0.10，由此能求出頻率分布直方圖和這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M．
（Ⅱ）依題意先求出第四組的人數(shù)，由比能求出選出的二人為“黃金幫扶組”的概率P₁．
（Ⅲ）依題意，求得ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)第四、五組的頻率分別為x，y，則2y=x+0.005×10，①
x+y=1-（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，②
由①②解得x=0.15，y=0.10，
從而得到直方圖．如右圖所示．
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=95×0.2+105×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.05=114.5．
（Ⅱ）依題意，第四組的人數(shù)為：
4×$\frac{0.015}{0.005}$=12，
∴選出的二人為“黃金幫扶組”的概率P₁=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{16}^{2}}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅲ）依題意，樣本總?cè)藬?shù)為$\frac{4}{0.05}$=80，
成績(jī)不低于120分的人數(shù)為：80×（0.05+0.10+0.15）=24，
∴在樣本中任取1人，其成績(jī)不低于120分的概率為$\frac{24}{80}=\frac{3}{10}$，
由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{10}$）³=$\frac{343}{1000}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（1-\frac{3}{10}）^{2}（\frac{3}{10}）$=$\frac{441}{1000}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（1-\frac{3}{10}）（\frac{3}{10}）^{2}$=$\frac{189}{100}$，
P（ξ=3）=$（\frac{3}{10}）^{3}$=$\frac{27}{1000}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{343}{1000}$	$\frac{441}{1000}$	$\frac{189}{1000}$	$\frac{27}{1000}$

依題意ξ～B（3，$\frac{3}{10}$），∴Eξ=3×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．